Diâmetro de circunstância?

Question

o segmento AB é um diâmetro de circunferência X^2+ y^2- 6x - 4y + 11 = 0 se a é o ponto de coordenadas cartesiano (2,3) então ponto b possui coordenadas

Answer 1

Seja b = (bₓ, bᵧ) o extremo do segmento AB e também um ponto da circunferência.

O centro da circunferência é o ponto medio de AB.

x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0 

Centro:  

C(-D/2, -E/2) = (3, 2)

Ou

x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0

(x² - 6x) + (y² - 4y) = -11

Lembre-se que (A² + B²) = A² + 2AB + B². 

Completando os quadrados de (x² - 6x) e (y² - 4y), obtemos:

(x² + 2 . x . (-3)) + (y² + 2 . y . (-2)) = -11

(x² + 2 . x . (-3) + (-3)²) + (y² + 2 . y . (-2) + (-2)²) = -11  + (-3)² + (-2)² 

Fatorando:

(x - 3)² + (y - 2)² = 2

Centro: C(3, 2)

Usando a fórmula do ponto médio de um segmento de reta:

Pₘ = ((aₓ + bₓ)/2, (aᵧ + bᵧ)/2)

(3, 2) = ((2 + bₓ)/2, (3 + bᵧ)/2)

Igualando as coordenadas e resolvendo:

(2 + bₓ)/2 = 3 → bₓ = 4

(3 + bᵧ)/2 = 2 → bᵧ = 1

Portanto:

b(4, 1)

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Answer 2

Prezada Ana, veja como não é difícil:

Foi dada a equação da circunferência, na sua forma GERAL:

x²+y²-6x-4y+11=0

Devemos passá-la para a sua forma REDUZIDA. Para tal, usarei o conceito de fatoração(produtos notáveis), ou seja, vou completar os quadrados perfeitos:

Arrumando os itens:

x²-6x+y²-4y+11=0

Eu quero transformar x²-6x num trinômio quadrado perfeito(se vc não lembra, dê uma olhada no link: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/3-...

Continuando:

Se eu acrescentar o termo 9 ao x²-6x, termos um trinômio quadrado perfeito, veja porque:

x²-6x+9 = (x-3)²

Porém, como eu acrescentei+9 à equação da circunferência, devo acrescentar também -9, caso contrário estarei alterando a equação. Então:

x²-6x+9-9+y²-4y+11=0

(x-3)²-9+y²-4x+11 = 0

Agora devo fazer O MESMO para y²-4x. Se acrescentar +4, terei um trinômio quadrado perfeito para y. Devo acrescentar também -4, para não mudar a equação. Daí:

(x-3)²-9+y²-4y+4-4+11 = 0

(x-3)²-9+(y-2)²-4+11 = 0

(x-3)²+(y-2)²-2 = 0

Jogo o -2 para o outro membro da equação:

(x-3)²+(y-2)² = 2

Se compararmos com a forma reduzida de uma equação de circunferência, teremos:

(x-3)²+(y-2)² = 2

(x-a)²+(y-b)² = R²

Onde (a,b) são as coordenadas do centro da circunferência. Sendo assim, por comparação:

-3 = -a  → a = 3

-2 = -b → b = 2

R² = 2 → R =√2

Então, essa circunferência tem raio √2 e centro em C(3,2).

Foi dito que AB é o diâmetro dessa circunferência, e que A(2;3). Pede-se as coordenadas de B.

Ora, usaremos a fórmula do ponto médio. Observe que o Centro C(3,2) foi calculado, ou seja, a distância entre C e B e entre A e C são iguais ao raio. Então, temos:

A(2;3)

B(p;q)

C(3;2)

Ponto médio C:

3 =(2+p)/2 → p = 6-2 = 4

2 =(3+q)/2 → q = 4-3 = 1

Coordenadas do ponto B: B(4;1)

Entendido?

Abç!

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