Diâmetro de circunstância?

o segmento AB é um diâmetro de circunferência X^2+ y^2- 6x - 4y + 11 = 0 se a é o ponto de coordenadas cartesiano (2,3) então ponto b possui coordenadas

2 Respostas

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  • Anônimo
    Há 4 semanas

    Seja b = (bₓ, bᵧ) o extremo do segmento AB e também um ponto da circunferência.

    O centro da circunferência é o ponto medio de AB.

    x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0 

    Centro:  

    C(-D/2, -E/2) = (3, 2)

    Ou

    x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0

    (x² - 6x) + (y² - 4y) = -11

    Lembre-se que (A² + B²) = A² + 2AB + B². 

    Completando os quadrados de (x² - 6x) e (y² - 4y), obtemos:

    (x² + 2 . x . (-3)) + (y² + 2 . y . (-2)) = -11

    (x² + 2 . x . (-3) + (-3)²) + (y² + 2 . y . (-2) + (-2)²) = -11  + (-3)² + (-2)² 

    Fatorando:

    (x - 3)² + (y - 2)² = 2

    Centro: C(3, 2)

    Usando a fórmula do ponto médio de um segmento de reta:

    Pₘ = ((aₓ + bₓ)/2, (aᵧ + bᵧ)/2)

    (3, 2) = ((2 + bₓ)/2, (3 + bᵧ)/2)

    Igualando as coordenadas e resolvendo:

    (2 + bₓ)/2 = 3 → bₓ = 4

    (3 + bᵧ)/2 = 2 → bᵧ = 1

    Portanto:

    b(4, 1)

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  • MPSal
    Lv 7
    Há 4 semanas

    Prezada Ana, veja como não é difícil:

    Foi dada a equação da circunferência, na sua forma GERAL:

    x²+y²-6x-4y+11=0

    Devemos passá-la para a sua forma REDUZIDA. Para tal, usarei o conceito de fatoração(produtos notáveis), ou seja, vou completar os quadrados perfeitos:

    Arrumando os itens:

    x²-6x+y²-4y+11=0

    Eu quero transformar x²-6x num trinômio quadrado perfeito(se vc não lembra, dê uma olhada no link: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/3-...

    Continuando:

    Se eu acrescentar o termo 9 ao x²-6x, termos um trinômio quadrado perfeito, veja porque:

    x²-6x+9 = (x-3)²

    Porém, como eu acrescentei+9 à equação da circunferência, devo acrescentar também -9, caso contrário estarei alterando a equação. Então:

    x²-6x+9-9+y²-4y+11=0

    (x-3)²-9+y²-4x+11 = 0

    Agora devo fazer O MESMO para y²-4x. Se acrescentar +4, terei um trinômio quadrado perfeito para y. Devo acrescentar também -4, para não mudar a equação. Daí:

    (x-3)²-9+y²-4y+4-4+11 = 0

    (x-3)²-9+(y-2)²-4+11 = 0

    (x-3)²+(y-2)²-2 = 0

    Jogo o -2 para o outro membro da equação:

    (x-3)²+(y-2)² = 2

    Se compararmos com a forma reduzida de uma equação de circunferência, teremos:

    (x-3)²+(y-2)² = 2

    (x-a)²+(y-b)² = R²

    Onde (a,b) são as coordenadas do centro da circunferência. Sendo assim, por comparação:

    -3 = -a  → a = 3

    -2 = -b → b = 2

    R² = 2 → R =√2

    Então, essa circunferência tem raio √2 e centro em C(3,2).

    Foi dito que AB é o diâmetro dessa circunferência, e que A(2;3). Pede-se as coordenadas de B.

    Ora, usaremos a fórmula do ponto médio. Observe que o Centro C(3,2) foi calculado, ou seja, a distância entre C e B e entre A e C são iguais ao raio. Então, temos:

    A(2;3)

    B(p;q)

    C(3;2)

    Ponto médio C:

    3 =(2+p)/2 → p = 6-2 = 4

    2 =(3+q)/2 → q = 4-3 = 1

    Coordenadas do ponto B: B(4;1)

    Entendido?

    Abç!

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