Diâmetro de circunstância?
o segmento AB é um diâmetro de circunferência X^2+ y^2- 6x - 4y + 11 = 0 se a é o ponto de coordenadas cartesiano (2,3) então ponto b possui coordenadas
2 Respostas
- AnônimoHá 1 ano
Seja b = (bₓ, bᵧ) o extremo do segmento AB e também um ponto da circunferência.
O centro da circunferência é o ponto medio de AB.
x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0
Centro:
C(-D/2, -E/2) = (3, 2)
Ou
x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0
(x² - 6x) + (y² - 4y) = -11
Lembre-se que (A² + B²) = A² + 2AB + B².
Completando os quadrados de (x² - 6x) e (y² - 4y), obtemos:
(x² + 2 . x . (-3)) + (y² + 2 . y . (-2)) = -11
(x² + 2 . x . (-3) + (-3)²) + (y² + 2 . y . (-2) + (-2)²) = -11 + (-3)² + (-2)²
Fatorando:
(x - 3)² + (y - 2)² = 2
Centro: C(3, 2)
Usando a fórmula do ponto médio de um segmento de reta:
Pₘ = ((aₓ + bₓ)/2, (aᵧ + bᵧ)/2)
(3, 2) = ((2 + bₓ)/2, (3 + bᵧ)/2)
Igualando as coordenadas e resolvendo:
(2 + bₓ)/2 = 3 → bₓ = 4
(3 + bᵧ)/2 = 2 → bᵧ = 1
Portanto:
b(4, 1)
- MPSalLv 7Há 1 ano
Prezada Ana, veja como não é difícil:
Foi dada a equação da circunferência, na sua forma GERAL:
x²+y²-6x-4y+11=0
Devemos passá-la para a sua forma REDUZIDA. Para tal, usarei o conceito de fatoração(produtos notáveis), ou seja, vou completar os quadrados perfeitos:
Arrumando os itens:
x²-6x+y²-4y+11=0
Eu quero transformar x²-6x num trinômio quadrado perfeito(se vc não lembra, dê uma olhada no link: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/3-...
Continuando:
Se eu acrescentar o termo 9 ao x²-6x, termos um trinômio quadrado perfeito, veja porque:
x²-6x+9 = (x-3)²
Porém, como eu acrescentei+9 à equação da circunferência, devo acrescentar também -9, caso contrário estarei alterando a equação. Então:
x²-6x+9-9+y²-4y+11=0
(x-3)²-9+y²-4x+11 = 0
Agora devo fazer O MESMO para y²-4x. Se acrescentar +4, terei um trinômio quadrado perfeito para y. Devo acrescentar também -4, para não mudar a equação. Daí:
(x-3)²-9+y²-4y+4-4+11 = 0
(x-3)²-9+(y-2)²-4+11 = 0
(x-3)²+(y-2)²-2 = 0
Jogo o -2 para o outro membro da equação:
(x-3)²+(y-2)² = 2
Se compararmos com a forma reduzida de uma equação de circunferência, teremos:
(x-3)²+(y-2)² = 2
(x-a)²+(y-b)² = R²
Onde (a,b) são as coordenadas do centro da circunferência. Sendo assim, por comparação:
-3 = -a → a = 3
-2 = -b → b = 2
R² = 2 → R =√2
Então, essa circunferência tem raio √2 e centro em C(3,2).
Foi dito que AB é o diâmetro dessa circunferência, e que A(2;3). Pede-se as coordenadas de B.
Ora, usaremos a fórmula do ponto médio. Observe que o Centro C(3,2) foi calculado, ou seja, a distância entre C e B e entre A e C são iguais ao raio. Então, temos:
A(2;3)
B(p;q)
C(3;2)
Ponto médio C:
3 =(2+p)/2 → p = 6-2 = 4
2 =(3+q)/2 → q = 4-3 = 1
Coordenadas do ponto B: B(4;1)
Entendido?
Abç!