Quais são os números racionais?e os irracionais?quero exemplos?

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oiii meu nome é larissa,tenho 12 anos (faço 13 em julho),cabelos longos lisos e loiros e olhos azuis suhsuhsuhsush mais isso não vem ao caso hehehe EU QUERO SABER QUAIS SÃO OS ...mostrar mais
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Os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a / b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.

Todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica.

Vejam os exemplos de números racionais a seguir:

3 / 4 = 0,75 = 0,750000...

- 2 / 3 = - 0,666666...

1 / 3 = 0,333333...

2 / 1 = 2 = 2,0000...

4 / 3 = 1,333333...

- 3 / 2 = - 1,5 = - 1,50000...

0 = 0,000... etc

Existe entretanto, uma outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração
a / b , conhecidos como números irracionais , os quais serão abordados de uma forma elementar neste capítulo.

2 – Os números irracionais

Assim como existem as dízimas periódicas, também existem as dízimas não periódicas que são justamente os números irracionais, uma vez que elas nunca poderão ser expressas como uma fração do tipo a / b .

Exemplos de dízimas não periódicas ou números irracionais:

a) 1,01001000100001000001...

b) 3,141592654...

c) 2,7182818272...

d) 6,54504500450004... etc

Existem dois tipos de números irracionais: os algébricos e os transcendentes.
Os números irracionais algébricos, são as raízes inexatas dos números racionais, a exemplo de Ö2 , Ö5 , Ö17 , Ö103 , ... etc, ou qualquer outra raiz inexata.

Já os números irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os exemplos mais famosos de números irracionais transcendentes, o número p (pi), o número de Euler e , cujos valores aproximados com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72 .

O número p representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos neperianos.

É interessante comentar, que ao tratarmos na prática, dos números irracionais, deveremos sempre adotar os seus valores aproximados, uma vez que , por serem dízimas não periódicas, os valores adotados serão sempre aproximações.

Um exemplo clássico de não racionalidade de um número, é o caso da
raiz quadrada de dois.

O valor aproximado da raiz quadrada de dois ( Ö2 ) é igual a 1,414. Vamos analisar o porquê do número Ö2 não ser racional:

Para isto , vamos utilizar o método da redução ao absurdo, que consiste em negar a tese, e concluir pela negação da hipótese.

Vamos supor inicialmente, por absurdo, que Ö2 seja um número racional.
Ora, neste caso, e se isto fosse verdadeiro, o número Ö2 poderia ser escrito na forma de uma fração irredutível a / b , ou seja, com a e b primos entre si , e, portanto, teríamos:

Ö2 = a / b , onde a e b são inteiros, com b diferente de zero.

Quadrando ambos os membros da igualdade anterior, teremos:

2 = a2 / b2 , de onde tiramos a2 = 2.b2 .

Ora, como a2 é o dobro de b2, é correto afirmar que a é um número par.
Sendo a um número par, podemos escreve-lo na forma a = 2k, onde k é um número inteiro. Daí, vem que: (2k)2 = 2b2 ou 4k2 = 2b2 , de onde tiramos que
b2 = 2k2 , ou seja, b também é par. Ora, sendo a e b pares, o quociente a / b não seria uma fração irredutível, já que o quociente de dois números pares é outro número par. Vemos portanto que isto nega a hipótese inicial de que a fração a / b seja irredutível, ou seja, de que a e b sejam primos entre si. Logo, concluímos que afirmar que Ö2 é racional , é falso , ou seja, Ö2 não é um número racional, e, portanto, Ö2 é um número irracional.

Nota: dois números inteiros são ditos primos entre si, se o máximo divisor comum
(MDC) destes números for igual à unidade, ou seja: MDC (a,b) = 1.

3 – Identificação de números irracionais

Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que:

3.1 – todas as dízimas periódicas são números racionais.

3.2 – todos os números inteiros são racionais.

3.3 – todas as frações ordinárias são números racionais.

3.4 – todas a s dízimas não periódicas são números irracionais.

3.5 – todas as raízes inexatas são números irracionais.

3.6 – a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.

3.7 – a diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö5 - Ö5 = 0 e 0 é um número racional.

3.8 – o quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö8 : Ö2 = Ö4 = 2 e 2 é um número racional.

3.9 – o produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö5 . Ö5 = Ö25 = 5 e 5 é um número racional.

3.10 – a união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais.

3.11 – a interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( Æ ).

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bom obrigado
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Outras respostas (4)

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  • Dessinhah respondido 5 anos atrás
    Minha flor é meio difícil acreditar que vc está na 8ª Série com apena 12 anos, se vc está na 8ª como diz é bem inteligente pra sabe quais são eles :D
    bjinhus tbm
    • 7
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  • Iago respondido 5 anos atrás
    Esses conjuntos q vc tá pedindo um número são infinitos e possuem uma propriedade chamada densidade infinita, ou seja, sempre entre um número e outro, existe outro número. Exemplo entre 1 e 0 existe números como 0,9; entre 0,9 e 1 existe 0,91 por exemplo. Entendeu?

    Vou falar mais um pouco sobre esses números:

    Os números racionais (Q) são aqueles q podem ser representados na forma de fração, ou seja, são os números fracionários, decimais, dízimas periódicas, números negativos e positivos inteiros. Veja exemplo

    -2 é Q porque pode ser representado na forma de fração -2/1
    2/3, 0,333...; raíz de 1,44 =1,22

    Os números irracionais não podem ser representados por fração, são dízimas não-periódicas e raízes inexatas

    Espero ter ajudado

    PS: Tbm tô na oitava, tenho 14 anos e sou um gato (sem comentários), mas como vc diz isso não vem ao caso. rsrsrs XD
    • 1
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  • ttt respondido 5 anos atrás
    Começou as aulas e os aluninhos da tia maricota estão com tudo no YR, pedindo respostas do dever de casa!
    • 2
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  • MATT-POTENCIA respondido 5 anos atrás
    sera que vc vai entende se eu te explica aqui no YR?

    Fonte(s):

    eu
    antoninho_norberto@hotmail.com
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